百年清華

《陳省身傳》（修訂版），張奠宙、王善平著，南開大學出版社2011年10月

經典的數學優美，現代的數學除了優美🚇，更有壯美。然而數學的精神，自從發皇於古希臘🥥，古今一貫🖖🏻，從未中絕，一切的現代學問中🧏‍♂️，最能守持古典精神的，仍是數學。

一、“數學好玩”

陳省身先生去世八年了，但是讀《陳省身傳》，使我覺得這位大數學家仍然活著，聲音笑貌，宛然目前📭。書中引了一首楊振寧的舊體詩，幾千年的幾何學歷史，最簡練的概括，就在詩句裏👦🏼：“千古寸心事👩🏿‍🦰，歐高黎嘉陳。”

幾何學真的只是“寸心事”🤷‍♂️，幾何學的歷史真的只是“寸心”的傳承與光大，而這“寸心”能運用於萬匯物理，天衣有縫👩🏼‍🌾🤦🏽，依其剪接，微子聚力🏕，賴其籠絡，又真的是“渾然歸一體，廣邃妙絕倫”。陳省身自謙“羅漢”🏟，但在幾何學的殿堂裏，他實在是一尊端坐於歐幾裏得、高斯🙇‍♀️🏇🏽、黎曼和嘉當之列的菩薩🅿️。《陳省身傳》初版於傳主的生前🧒🏿，這次修訂再版，若幹的增補中有一則趣事🧑🏻‍🤝‍🧑🏻：陳省身臨終前不久曾為少年數學愛好者題詞：“數學好玩”；佛菩薩真的是觸處見機，咳唾都是“心法”啊。

《陳省身傳》的兩位作者，主筆的是張奠宙教授。張教授是在泛函分析研究上取得過驕人成績的數學專家，又是一位胸有全局的數學通人。“文革”結束不久，在國門依舊封閉的情況下，他就開始全面考察世界現代數學的發展和成就，歷史軌跡和數學思想並重⛵️，所成《二十世紀數學史話》，啟迪人至深，當時陳省身就非常稱贊並著力推介✊。2002年💟🧝🏻‍♀️，張教授又成《二十世紀數學經緯》一書，內容加深加廣，構思闊大🧙🏽，論述精到，較之“史話”🧛🏽‍♀️🧂，儼然一部有規模的現代數學通史了🧑‍🏫🔹。《陳省身傳》的另一位作者王善平是張教授的學生💆‍♂️，他說自己“只是收集整理材料；當然，學到了很多”。是的，這樣的書，就是讀一遍，就是隨便翻翻，也能“學到很多”，更不必說“整理材料”，參與寫作了；這樣的經驗是那些為了“對得起”經費的課題寫作無法比擬的。

兩位作者還編過一本《陳省身文集》，主要收集陳省身的研究性論文之外的文字，但例外地收了陳省身自稱“我一生最得意的工作”——《閉黎曼流形高斯-博內公式的一個簡單的內蘊證明》一文👩🏽‍🍼𓀐；是王善平從美國《數學紀事》(Annals of Mathematics)1944年卷中譯過來的。2002年8月，第24屆國際數學家大會在北京召開，張奠宙校、王善平譯的《數學無國界》一書同時出版🙍🏼🧜‍♂️，這本書講述一百年間國際數學家大會以及主辦大會的國際數學聯盟的歷史，作者是曾任聯盟主席的奧利·來赫托🎪。書名傳達了數學的真精神。2011年🤚🏼，為了紀念陳省身百年誕辰而出版的《陳省身與幾何學的發展》一書，編輯工作主要也是由王善平擔任。這些書可以互相“鏈接”，不同需求的讀者自能各取所需，開卷得益。

二、“經典的”與“現代的”

陳省身是一位不世出的幾何學家，他有偉大的貢獻👨🏻‍🍳。記得“文革”中毛主席會見楊振寧🧑🏻‍🎓🕍，曾說💉：“你是對人類作了貢獻的人，我不是😌。”如果他會見陳省身🍦，也當如是說👩‍👩‍👦‍👦。

眾所周知，幾何學是研究空間的性質和結構的。憑人類生而俱來的肉身感官➛，人們也許覺得空間很簡單，還不是四方上下平直均勻無限延伸，有什麽結構🎺，談什麽性質👢。但是，一經數學用符號和數量關系把空間改製為抽象的、思想上的對象或實體，就大有文章可做了。

高斯用微積分的觀點和方法👨🏿‍🌾，處理嵌在平直空間裏的曲面👨🏽‍🏭，所得結果使思維進入新的層面：有充分的理由把曲面本身看作“內蘊空間”。空間就是曲面，曲面就是空間。人類直觀到的三維空間，無非是加上時間以後四維空間裏的一個“曲面”🤾🏽‍♀️，或者說“超曲面”。空間可以是不平直的，可以處處有“曲率”；平直空間不過是曲率為0的曲面🍿。

愛因斯坦研究引力作用🥫、建立廣義相對論時🧎‍♀️‍➡️，已經有黎曼的曲面上的微分幾何在等著他👨🏻‍🦲，愛翁是經由他的好朋友格羅斯曼的介紹🪬，認識黎曼幾何的🫗。“廣相”的結論竟然是🤌🏻：引力作用不是什麽物與物之間的互相“吸引”👨🏻‍🚒🟧，而是空間的“曲”性有以致之😯。

曲率是曲面的局部性質🧜🏼‍♂️🤷🏽‍♀️，曲面還有整體結構☯️。同為橡膠製品，足球和汽車輪胎的表面顯然是整體結構不同的；輪胎倒是和面包圈結構相同。不難想見，曲面的整體結構可以非常復雜，復雜到無以復加。所以微分幾何先是研究曲面的局部性質👊🏻，而後才發展出整體微分幾何🦸🏻‍♀️。整體微分幾何需要用拓撲的觀點看曲面，把它定義為“流形”(manifold)♉️。

整體微分幾何的興起和發展，是一個起死回生的過程。1943年陳省身初到普林斯頓⚁🛅，外出赴會🌜，火車上邂逅一位美國有名的數學家🧑🏼‍✈️😎。傾談間🧚🏼‍♀️，那位數學家聽陳省身說是研究微分幾何的，隨口應道：“Oh🦹！它死了🫷🏽！”經典微分幾何在曲面局部性質上取得了許多優美成果，但因觀點、方法、工具限於分析(即微積分)的範圍，發展已臻止境，是死了。但這是火鳳凰之死🍷，她會重生，她會在更高的拓撲觀點的觀照下，在拓撲🤷🏼‍♂️、代數、分析諸多工具的錘煉下重生𓀎。陳省身就是現代微分幾何一位最重要的催生者和奠基者🧑🏽‍🦳。

數學有“經典的”與“現代的”之分。發思古幽情的現代人🦄，往往喜歡“經典的”東西2️⃣，不喜歡“現代的”東西，文章👨‍🔬、藝術👶、建築，無不是古勝於今。數學不同，數學顯然是“現代的”勝於“經典的”，現代數學把經典數學吃進去了👩‍🔧，消化掉了，幾乎沒有排出什麽“糟粕”♗；經典的數學優美，現代的數學除了優美🕛，更有壯美。然而數學的精神，自從發皇於古希臘，古今一貫👩‍🦱，從未中絕，一切的現代學問中，最能守持古典精神的👩🏿‍🔧，仍是數學。菲爾茨獎沒有獎金，只有獎章🛷，但它是數學界的最高榮譽，獎章上刻著的是古希臘阿基米德的頭像。

1943年至1946年，不到三年間，陳省身在普林斯頓從事現代微分幾何的奠基工作，使得關於流形整體結構的纖維叢理論基本成形。他把高斯-博內公式從二維推廣到高維；他把歐拉-龐加萊示性數🧜🏿‍♀️🛌、施蒂菲爾-惠特尼示性類等刻畫整體的概念和局部的曲率聯系起來；他又把一般微分流形的球叢推廣到復流形上的復球叢🛷，引進了一種全新的示性類，後來稱為“陳類”(Chern Class)，時至今日，陳類已經是現代數學中的一個基本概念。

1945年夏♗，陳省身在美國數學會大會上作題為“大範圍微分幾何若幹新觀點”的報告，系統闡述了整體微分幾何的新思想和新方法。老一輩的拓撲學和幾何學權威霍普夫聽後評論說💁🏻🤼‍♂️：“這篇演講表明大範圍微分幾何的新時代開始了。這個新時代以纖維叢的拓撲理論和嘉當外微分方法的綜合為特征。”半個世紀後，美國數學家辛格表達了所有追隨和接續陳省身工作的學生後輩的共識：“陳省身就是現代微分幾何🤸🏿‍♀️🧖‍♀️。”菲爾茨獎得主邱成桐更明白宣示：“現代微分幾何，嘉當是祖🆕🚵🏼，陳省身是父。”

嘉當是陳省身的老師，他的外微分方法是一根“魔杖”，真懂和能用的人很少🧏🏼‍♀️，連堪稱希爾伯特之後最大數學家的外爾都說：“嘉當的書難讀❕。”但陳省身掌握了這根魔杖，獨得之秘💆🏿‍♀️，運用自如🔒。1991年張奠宙問過陳省身：“現在大家都能夠很好地理解嘉當的思想了嗎🧑‍🏭？”陳省身回答6️⃣：“不一定。我可以保留這種秘密武器，別人做不出的結果🈹，我可以做出來☝️。”

1984年，陳省身獲沃爾夫獎，這個獎可以與菲爾茨獎並列，是數學的終身成就獎，頒獎詞特別指出：“他在整體微分幾何上的卓越貢獻🧘🏻‍♀️，其影響遍及整個數學🫡。”被認為20世紀兩項最偉大的數學成就之一的阿蒂亞-辛格指標定理(另一個是費爾馬大定理的證明)，也是以陳省身的工作為基礎的。辛格在賀陳省身八十壽辰的文章中說：“對陳省身在局部和整體幾何中能如此有效地運用微分形式感到驚異。”這所謂“微分形式”🧂，就是陳省身的獨得之秘，嘉當的魔杖。陳省身的同行們推崇他對現代幾何的貢獻，同時也欣羨他“對豐富和美麗的經典幾何十分嫻熟，這在數學界已經非常罕見”。

陳省身（1911-2004）是一位不世出的幾何學家 （何籽/圖）

三🕍、幾何與物理

陳省身一生的外在形跡🐕‍🦺，可以說很平常，很順利，沒有曲折的遭遇，沒有離奇的故事；他的不平常，是他念茲在茲的精神世界，是他為數學建立的不朽功業✦。《陳省身傳》的最大好處🧑🏻‍🦲🏡，就在於通過陳省身一生行事的敘述🧘🏽‍♀️🎨，忠實地、幾乎又可以說是酣暢淋漓地再現了他的精神生活；同時，圍繞著陳省身的數學成就，帶出了一部現代幾何學的歷史及其諸多關聯🧗‍♂️🦸🏽‍♂️，特別是與物理學的關聯↖️👱🏻。

書中涉及幾何和物理的具體內容，某些概念🔍、命題和論述不容易懂，但是張奠宙教授以其對所述內容的深刻理解和準確把握👦🏼🐢，出之以他所特有的通俗化本事，鋪陳為文章👨‍🔧，即使外行的讀者，在似懂非懂之間，也能感受到現代高深數學和物理學的優美和壯美。

精彩的一例🦵，楊振寧於1954年提出粒子物理學的規範場理論，流形上的纖維叢理論則是數學家在與物理完全無涉的情況下發展的，兩者竟有高度的一致性🙎🏼‍♂️🙋🏻，連各自的術語都能規整地一一對應👨‍💻。楊振寧弄清楚規範場與纖維叢的關系後，連呼“奇跡”😞，特地驅車前往陳省身的家中，兩位科學大師共享奇跡的發現✉️，贊嘆之余🤕，轉生困惑🤾🏼‍♂️👩‍💼，舊學新知👊🏼，疑義相析🦹🏿‍♀️，這正是窮究天人之際的學問商量啊。

講完整個故事，作者有一段議論：“在發現規範場和纖維叢關系之前，陳省身很少關註物理🕒。他只是埋頭研究他鐘愛的數學，把微分幾何的房間打掃得清靜幹凈，裏面的物件井井有條🧑🏼‍✈️，四周不乏華麗的裝飾，使這所數學宮殿富麗堂皇。但是👎🏻，當他打開窗戶一看，外面是遼闊的物理學大海，清風徐來🕵️‍♀️，海天一色🤛，無限壯觀，幾何宮殿和物理大海竟然如此的和諧統一，只能感嘆造化之巧。”這樣的文字🤜🏽，能啟發讀者深思🤘，引起同樣的感嘆♣️。規範場和纖維叢，是用不同語言寫的兩篇大作🦴，作者各不相謀，文章銖兩悉稱🪳⛰，仿佛互相的對譯🍛。這背後一定有更深的原因，原因何在呢？不在人際☔️，在天人之際⚅，在“道可道，非常道”的“造化之巧”。

陳、楊兩家有特殊因緣，陳省身的丈人鄭桐蓀和楊振寧的父親楊武之是清華同事💄，陳省身是他們的學生，後來也是同事；陳省身的婚事還是楊武之極力撮合的呢。楊振寧曾比喻數學與物理“像兩片有共同根莖的樹葉，順著各自的脈絡，奔赴生命的前程”。陳數學，楊物理，“各自奔赴生命的前程”，竟又在造極之境上歡然相會。“誰為為之？孰令聽之？”造化的安排真是不可思議📁。

陳省身是握了道樞的人；這之後，他就經常講幾何與物理的關系了。1999年，他在復旦大學演講，主題是“物理就是幾何”👩🏼‍🦳，一句話把牛頓、麥克斯韋🚼、愛因斯坦♠️、楊振寧一網打盡。你看牛頓的主要方程(第二定律)，再看愛因斯坦的“廣相”方程，寫出來簡單，都是一邊幾何量，一邊物理量，“物理就是幾何”🙋🏼。麥克斯韋電磁場方程很復雜，寫出來一大堆🧑🏿‍🎨，得占一整頁，學者苦於難記🌓；陳省身卻能把它們簡約為兩個不能再短的式子：dA=F，δF=J🧏🏻‍♀️，其解釋是“纖維叢上有一個平行性，這個平行性的微分等於場的強度👰🏼‍♂️；而場的強度經過某個運算就得到它的流矢量”；仍是“物理就是幾何”管著。最妙的是😻，楊振寧的規範場方程竟然也是這兩個短式，當然解釋不同。什麽叫“茅塞頓開”🧎‍♀️‍➡️？什麽叫“豁然貫通”？什麽叫“醍醐灌頂”？什麽叫“一句頂一萬句”🦊💠？陳省身的話就是。陳省身已然頓悟，金針度人🫅🏼，向眾生說法🎐，任何人想要開悟，當然還得勤精漸修🔋。陳省身已經把要做的功課開示了🧜‍♀️，有誌者就依次修習吧。

四🎯、“知其不知”與“知所不知”

陳省身說自己：“我會做數學，我也只會做數學。”但其實🎎🚚，他很有辦事、行政的能力🤽🏻‍♀️💁🏼‍♂️，他甚至“玩”過政治。晚年談起西南聯大事，他笑說：“我也會玩politics，那年改選教授評議會，年輕的把年長的擠出去了，我是一個發動者。”這件事影響不小，還勞動校長梅貽琦的大駕，來找他“談判”👩🏼‍🔧。陳省身認為管理國家，主要是政策好，方向對，管是不難的。新加坡總理李顯龍在劍橋讀過數學，陳省身借事發揮💳👌🏿：“數學家可以管國家，而管國家的卻做不了數學👨🏿‍🏫。”他好像有點瞧不起政治。

他領導過好幾個研究所🧑🏻‍💻，宗旨始終是：“凡有利於數學的，總要去做↔️；凡與數學無關的，請勿打擾。”他說🤾🏽🛏：“我辦事的原則就是少管事。辦研究所最要緊的是把有能力的數學家和學生找來聚在一起🤦🏽，之後就不要管了。”他對申請經費之類有點頭痛：“動不動就要你的計劃，但是照計劃做出來的不會是最有價值的，最好沒有計劃。”好在陳省身是尊菩薩，管錢的願意借花獻佛🙆🏼🕊，大有人在。陳省身研究、教學、辦事、行政，都是為了數學的利益🤟🏼，他個人的榮譽和利益👳🏽，是與數學的利益完全一致的。

陳省身經常說🍉：“數學沒有諾貝爾獎是幸事。”數學沒有諾獎♟⛸，但有菲爾茨獎、沃爾夫獎、阿貝爾獎、羅巴切夫斯基獎、維布倫獎等等🤾🏻‍♀️。有什麽區別嗎🫡？重要的區別在於：諾獎已經嚴重地大眾化了🖖🏻，諾獎已經是大眾社會(mass society)裏的事了，諾獎得主與大眾的關系已經是“明星”與“粉絲”的關系了。

你到街上取樣，隨機抓十個人來問🔑，人人知道諾獎，幾乎沒人知道菲獎或沃獎，遑論維獎、羅獎、阿貝爾獎💻。2002年北京開國際數學家大會，中國的媒體上最出風頭的不是那一年的菲獎得主，也不是那屆大會上做一小時報告的人🎦🏋🏿‍♂️；最出風頭的兩位，一位是坐在輪椅裏研究宇宙學的物理學家霍金🧘，另一位是得了經濟學諾獎的數學家納什。納什肯定不懂經濟學💁🏻‍♂️，卻由於一篇他自己都認為“不起眼”的數學論文引發許多經濟學研究，而得了經濟學諾獎；他數學了得🫷🏿，心心念念想得菲獎🤵🏽‍♀️，總不遂願🧑‍🧑‍🧒👩‍🔧，因此精神一度失常，也屬失計。菲獎是懂行同行的肯定和評價，是自然之光下的最高榮譽；諾獎也是，但在諾獎👶🏿，自然之光被舞臺之光掩蔽，舞臺之下是mass。mass另有木知木覺塊然大物一義，蠢動起來，勢如颶風，力能崩山🙅🏿，明星與mass，真不知道誰播弄誰。沒有諾獎🧛‍♀️，對於數學“這片安靜的世界”確實是幸事𓀀。

南朝釋慧皎撰《高僧傳》，自序裏說：“前代所撰🩰，多曰名僧。然名者，本實之賓也。若實行潛光🪠，則高而不名；寡德適時，則名而不高。”於是區分了“高”和“名”。其實“高”也是“名”，“高”是高名，“名”是大名👩🏻‍🦰🏖。諾獎與菲獎🤤🧙‍♂️、沃獎的區別在於🈲：諾之高名，可能被大名所掩⛹🏼‍♂️，菲、沃則否🧊。陳省身、邱成桐師徒🗿，都是既高且名的大師👍；當今數學家🎉，高而不名者，有一人焉，俄羅斯人佩雷爾曼🧑。佩氏在本世紀初成功證明了龐加萊猜想🏋🏻，這是克萊研究所公布的新千禧年七大數學難題的第一題。2006年國際數學聯盟給他菲爾茨獎🌈，他沒有要；2011年克萊研究所給他百萬美元獎金，他也沒有要。他說🎾：“如果我的證明是正確的，就不需要任何其他形式的肯定🛎。”

佩雷爾曼也許是截斷眾流的孤傲🕵🏿‍♀️，陳省身則精神內守😍，而又隨波逐浪💕🖍，佩氏大推開💆🏽‍♀️，陳氏大灑脫，二者皆好🧏🏿‍♂️。依佛老語說🧔🏽‍♀️，陳省身更為圓熟，佩雷爾曼畢竟不是中國人💁🏼。但若言數學精神的直接呈現👩‍🏭，則似乎佩氏更為昭彰🍅。數學是一項值得人為了她的自身，而不是為了她所能帶來的東西而從事的事業。數學的成就是自我界定的🦸🏽‍♀️，不像跳高、跑快之類，必須從外面、用獎金名次等來界定，不求名次獎金，一天到夜練跑快🫲🏼，那是練傻。陳省身經常說：“為了個人名利8️⃣，數學不是一條坦途。”名利之徒進入數學🤦🏻🙅🏽‍♂️，他得有所改正🛀。人說政治是屁股指揮腦袋🛶，我說數學能腦袋端正屁股。

蘇格拉底認定最高最幸福的生活是哲人的生活，是追求知識。《陳省身傳》的作者則稱“數學家的精神毋寧說是詩人的或哲學家的。他們是發現和謳歌自然秩序的美的詩人，是尋找精神歸宿和營造精神家園的哲人”。數學精神的源頭在古希臘哲人那裏。

“追求知識”的題中應有之義是知識不能被占有，所以沒有“智者”(sophist)；如果知識比作財富👩🏿‍⚕️，“智者”就是大富翁🔪，然而知識不是財富。哲人的基本狀態是“不知”，追求知識的前提是“知其不知”，所以真正的知識必然是“無知之知”(knowledge about ignorance)👨🏿‍🌾。

怎樣才能建立追求知識的前提，“知其不知”呢？善解古希臘哲人精義的現代大哲列奧·施特勞斯像莊子一樣說話了🏄🏻：“不知其不知👨🏽‍🍼，以不知其所不知也。”(One can not know that one does not know without knowing what one does not know。)陳省身以九十歲的高齡🔉，還在研究“六維球面上是否存在復結構”的難題🦾，他深知“所不知”在哪裏😬，故知其不知，而不安於不知，在“所不知”的指引下努力探索，精神明顯是古希臘的🫎。陳省身平時說話🪷，喜歡借佛語、莊子語，但臨終卻說：“我要去希臘朝聖了💇🏽‍♀️。”

莊子也教人“知其不知”⏬，但主張安於不知，“棄聖絕智”。這境界也好🌬，“不求甚解🧝🏿，每有會意，欣然忘食”的五柳先生便是這境界裏的一個典型🤳🏼。但如果五柳先生忘食而未嘗忘言，舌粲蓮花👩🏽‍🌾，滔滔不絕之下，恐怕會陷於“不知其不知”，而自以為知了🥛🤯。五柳先生，可是“現代的”大不如“經典的”啊🗳。（陳克艱）

轉自《南方周末》2012年2月11日